Question

10．已知F₁，F₂分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若点P是以F₁F₂为直径的圆与C右支的一个交点，PF₁交C于另一点Q，且|PQ|=2|QF₁|，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据|PQ|=2|QF₁|，以及圆的性质，结合直角三角形的性质，建立三角形的边角关系，利用双曲线的定义得到关于a，c的方程进行求解即可．

解答 解：∵点P是以F₁F₂为直径的圆与C右支的一个交点，
∴即∠F₁PF₂为直角，
∴则设|QF₁|=m，|PQ|=2m，
则|F₁F₂|=2c，
则|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}-9{m}^{2}}$，|QF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}+4{m}^{2}-9{m}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-5{m}^{2}}$，
则|PF₁|-|PF₂|=3m-$\sqrt{4{c}^{2}-9{m}^{2}}$=2a，①
|QF₂|-|QF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}-5{m}^{2}}$-m=2a，②，
则3m-$\sqrt{4{c}^{2}-9{m}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-5{m}^{2}}$-m=2a，
即4m-$\sqrt{4{c}^{2}-9{m}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-5{m}^{2}}$，
平方整理得45m²=16c²，
则m²=$\frac{16}{45}$c²，m=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$c，代回②得$\sqrt{4{c}^{2}-5×\frac{16{c}^{2}}{45}}$-$\frac{4\sqrt{5}}{15}$c=2a，
即$\frac{2\sqrt{5}}{3}$c-$\frac{4\sqrt{5}}{15}$c=2a，
即$\frac{6\sqrt{5}}{15}c$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$c=2a，
即c=$\frac{5}{\sqrt{5}}$a=$\sqrt{5}$a
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边角关系建立方程组，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．