Question

20．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为$\frac{5π}{3}$的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{{5\sqrt{11}}}{18}$
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{{5\sqrt{11}}}{9}$

Answer 1

分析 求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0＜a≤2r），用a表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值．

解答 解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，
则2πr=2×$\frac{5π}{3}$=$\frac{10π}{3}$．∴r=$\frac{5}{3}$．
设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0＜a≤$\frac{10}{3}$）．
则截面等腰三角形的高h=$\sqrt{{l}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$．
∴截面面积S=$\frac{1}{2}ah$=$\frac{a}{2}\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}（4-\frac{{a}^{2}}{4}）}$≤$\frac{4}{2}$=2．
当且仅当$\frac{{a}^{2}}{4}=4-\frac{{a}^{2}}{4}$即a=2$\sqrt{2}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题．