Question

9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在左顶点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的距离为5，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-3，-6），则双曲线的焦距为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 点（-3，-6）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=6，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（-3，-6）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，则双曲线的焦距可求．

解答 解：已知双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-3，-6），
即点（-3，-6）在抛物线的准线上，又由抛物线y²=2px的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，得p=6，
则抛物线的焦点为（3，0）．
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-3，-6）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，
即$\frac{b}{a}=2$，可得b=4．
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{20}$=$2\sqrt{5}$，则焦距为2c=$4\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线与抛物线的性质，灵活运用双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-3，-6）是关键，是中档题．