Question

4．已知函数f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=$\frac{1}{2}$，S_n+1=f（S_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=S₁²+S₂²+…+S_n²，当n≥2时，求证：4T_n＜2-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：S_n+1=f（S_n）=$\frac{{S}_{n}}{2{S}_{n}+1}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=2，利用等差数列的通项公式可得：S_n=$\frac{1}{2n}$．再利用递推关系可得：a_n．
（2）${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$，n≥2时，${S}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：由题意可得：S_n+1=f（S_n）=$\frac{{S}_{n}}{2{S}_{n}+1}$，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为2，公差为2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，解得S_n=$\frac{1}{2n}$．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n-1）}$=-$\frac{1}{2n（n-1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{\frac{-1}{2n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）证明：${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$，n≥2时，${S}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴T_n＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{4n}$，
即4T_n＜2-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题