Question

14．设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点C的坐标为（-a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为$\frac{13}{2}$，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意M（$\frac{2a}{3}，\frac{b}{3}$），从而得a=$\sqrt{5}b$，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由a=$\sqrt{5}$b，得直线AB的方程为$\frac{x}{\sqrt{5}b}$+$\frac{y}{b}$=1，由B（0，b），C（-$\sqrt{5}b$，0），得N（-$\frac{\sqrt{5}b}{2}$，$\frac{b}{2}$），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x₁，$\frac{13}{2}$），由此能求出椭圆E的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），
点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴M（$\frac{2a}{3}，\frac{b}{3}$），
整理，得a=$\sqrt{5}b$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2b，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{5}b}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=$\sqrt{5}$b，则直线AB的方程为$\frac{x}{\sqrt{5}b}$+$\frac{y}{b}$=1，
由B（0，b），C（-$\sqrt{5}b$，0），得N（-$\frac{\sqrt{5}b}{2}$，$\frac{b}{2}$），
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x₁，$\frac{13}{2}$），
由线段NS的中点T的坐标为（$\frac{{x}_{1}}{2}-\frac{\sqrt{5}b}{4}$，$\frac{b}{4}+\frac{13}{4}$），
∵点T在直线AB上，且k_NS•k_AB=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{{x}_{1}}{2}-\frac{\sqrt{5}b}{4}}{\sqrt{5}b}+\frac{\frac{b}{4}+\frac{13}{4}}{b}=1}\\{\frac{\frac{13}{2}-\frac{b}{2}}{{x}_{1}+\frac{\sqrt{5}b}{2}}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
解得${x}_{1}=-\frac{\sqrt{5}}{2}，b=3$，
∴a=3$\sqrt{5}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．