Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过椭圆的左焦点F₁且与x轴垂直的直线与椭圆相交于P，Q两点，△OPQ的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点M、N为椭圆E上不同的两点，k_OM•k_ON=-$\frac{b^2}{a^2}$，求证：△OMN的面积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过椭圆的左焦点F₁且与x轴垂直的直线与椭圆相交于P，Q两点，△OPQ的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，O为坐标原点，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）当l⊥x轴时，设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，由k_OM•k_ON=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$，由此能求出S_△MON=1．当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出S_△MON=1为定值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
过椭圆的左焦点F₁且与x轴垂直的直线与椭圆相交于P，Q两点，△OPQ的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，O为坐标原点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{1}{2}×\frac{2{b}^{2}}{a}×c=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
证明：（Ⅱ）当l⊥x轴时，设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，由k_OM•k_ON=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$，
联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\sqrt{2}}\\{{y}_{0}=±\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\sqrt{2}}\\{{y}_{0}=±\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，∴S_△MON=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．
当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△＞0，可得1+4k²＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
则|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+4{k}^{2}）[\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（4{m}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}]}$
=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$．
由k_OM•k_ON=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{4}$，
化为4（kx₁+m）（kx₂+m）+x₁x₂=0，即（1+4k²）x₁x₂+4mk（x₁+x₂）+4m²=0，
∴$\frac{（1+4{k}^{2}）（4{m}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4m²=0，化为：2m²=1+4k²．
把m²=$\frac{1+4{k}^{2}}{2}$代入|MN|，得|MN|=$\frac{2\sqrt{2（1+{k}^{2}）}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
原点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．

∴S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$×|m|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}×\frac{\sqrt{1+4{k}^{2}}}{\sqrt{2}}$=1．
综上得S_△MON=1为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．