Question

16．已知点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上任意一点，A、B分别是双曲线的左右顶点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为（　　）

• A． -3
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 设P（m，n），代入双曲线的方程，由双曲线的方程可得a=2，求出A，B的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合双曲线的范围，即可得到所求最小值．

解答 解：设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}$-n²=1，
可得n²=$\frac{{m}^{2}}{4}$-1，
由双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得a=2，
即有A（-2，0），B（2，0），
可得$\overrightarrow{PA}$=（-2-m，-n），$\overrightarrow{PB}$=（2-m，-n），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-2-m）（2-m）+n²
=m²+n²-4=m²+$\frac{{m}^{2}}{4}$-5
=$\frac{5}{4}$m²-5，
由双曲线的性质可得，|m|≥2，
即有$\frac{5}{4}$m²-5≥$\frac{5}{4}$×4-5=0，
当m=±2时，取得最小值0．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是方程的运用和范围，考查向量数量积的坐标表示，以及运算能力，属于中档题．