Question

14．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，以F₂为圆心与双曲线的渐近线相切，若圆F₂和双曲线的一个交点为M，满足MF₁⊥MF₂，则双曲线的离心率是$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 设F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF₁⊥MF₂，结合双曲线的定义，利用勾股定理建立方程关系，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：设F₂（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得F₂到渐近线bx-ay=0的距离d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即圆F₂的半径为b，
∵圆F₂和双曲线的一个交点为M，
∴MF₁-MF₂=2a，MF₂=b，
∴MF₁=2a+b，
∵MF₁⊥MF₂，
∴MF₁²+MF₂²=F₁F₂²，
即（2a+b）²+b²=4c²=4a²+4b²，
则4a²+4ab+b²=4a²+4b²，
即4ab=3b²，
则4a=3b，
则$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}$=$\sqrt{\frac{25}{9}}$=$\frac{5}{3}$，
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，利用双曲线的定义结合离心率的定义进行转化是解决本题的关键．