Question

6．如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，AA₁=BC=2$\sqrt{3}$，E是AA₁中点，D是AC的中点，M是BB₁上一点，若DM∥平面B₁CE，则$\frac{BM}{M{B}_{1}}$=3．

Answer 1

分析 取BC中点O，B₁C₁中点P，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答 解直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，AA₁=BC=2$\sqrt{3}$，
取BC中点O，B₁C₁中点P，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵E是AA₁中点，D是AC的中点，
∴A（1，0，0），C（0，-$\sqrt{3}$，0），D（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（1，0，$\sqrt{3}$），B₁（0，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∵M是BB₁上一点，∴设M（0，$\sqrt{3}$，t），（0$≤t≤2\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t），
设平面B₁CE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=2\sqrt{3}y+2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
∵DM∥平面B₁CE，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-t=0，
解得t=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴BM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，MB₁=2$\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查空间中两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．