Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，椭圆左右两个焦点F₁，F₂在直线x-y+2=0上的同侧，且直线上的动点到两个焦点的距离之和的最小值为$\sqrt{10}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 由题意作图，设点F₁（-c，0）关于直线y=x+2的对称点为A（m，n），从而求出点A的坐标，从而结合题意得方程组，解之即可．

解答 解：由题意作图象如下，
，
设点F₁（-c，0）关于直线y=x+2的对称点为A（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-0}{m+c}=-1}\\{\frac{m-c}{2}-\frac{n}{2}+2=0}\end{array}\right.$，
解得，m=-2，n=2-c；
结合题意知，|AF₂|=$\sqrt{10}$，
故可得方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\sqrt{（c+2）^{2}+（2-c）^{2}}=\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
解得，c=1，a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$；
故椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了转化思想与方程思想．