Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：AP∥平面BED；
（Ⅱ）证明：平面APC⊥平面BED；
（Ⅲ）若BC=PC=2，∠ABC=60°，求异面直线AP与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC∩BD=O，ABCD是平行四边形，故O为BD的中点，连结OE，则AP∥OE，由此能证明AP∥平面BED，
（Ⅱ）由已知推导出PC⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面APC，由此能证明平面APC⊥平面BED．
（Ⅲ）由BC∥AD，知∠PAD为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．

解答 （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，ABCD是平行四边形，故O为BD的中点，连结OE，
∵点E是PC的中点，∴AP∥OE，
OE?平面BED，AP?平面BED，
∴AP∥平面BED
（Ⅱ）∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PCB=90°，
故PC⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴PC⊥BD，
而底面ABCD是菱形，故AC⊥BD，
又AC∩PC=C，∴BD⊥平面APC，
∵BD?平面BED，
∴平面APC⊥平面BED．
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）知BC∥AD，
故∠PAD为异面直线AP与BC所成的角，
由已知BC=PC=2，∠ABC=60°，底面ABCD是菱形
故AB=BC=AC=PC=2，
∴在Rt△DPC中，PC=DC=2，故DP=2$\sqrt{2}$，
取BC中点H，则AH⊥BC，AH⊥平面PBC，
在Rt△AHP中，PH=$\sqrt{5}$，AH=$\sqrt{3}$，故AP=2$\sqrt{2}$，
∴AP=2$\sqrt{2}$，在△APD中，cos$∠PAD=\frac{\frac{1}{2}AD}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．