Question

6．如图，四边形ABCD为菱形，EB⊥平面ABCD，EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD．
（Ⅰ）求证：DF∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：平面AEF⊥平面AFC．

Answer 1

分析 （I）设AC与BD的交点为O，连接EO，则四边形DOEF为平行四边形，故而DF∥OE，于是DF∥平面AEC；
（II）由BE⊥平面ABCD可得BE⊥BO，即四边形OBEF是矩形，于是OB⊥OF，由菱形的性质得OB⊥AC，故而OB⊥平面AFC，而OB∥EF，EF?平面AEF，故而平面AEF⊥平面AFC．

解答 证明：（I）设AC与BD的交点为O，连接EO，
因为$EF=\frac{1}{2}BD$，所以EF=OD
因为EF∥BD，所以EF∥OD．
故四边形DOEF为平行四边形，
所以DF∥OE，
又OE?平面AEC，DF?平面AEC，
所以DF∥平面AEC．
（Ⅱ）连结OF，因为$EF=\frac{1}{2}BD$，所以EF=OB，因为EF∥BD，所以EF∥OB，
故四边形BOFE为平行四边形．
所以EB∥FO，因为EB⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD，
又OB?平面ABCD，所以FO⊥OB．
因为四边形ABCD为菱形，所以OB⊥AC，
又AC?平面AFC，OF?平面AFC，AC∩OF=O，
所以OB⊥平面AFC．
又EF∥OB，所以EF⊥平面AFC．
因为EF?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面AFC．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．