Question

19．设F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若3$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，则双曲线C的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 设一渐近线OM的方程为y=$\frac{b}{a}$x，设M（m，$\frac{b}{a}$m），N（n，-$\frac{bn}{a}$），由3$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，求得点M的坐标，再由FM⊥OM，斜率之积等于-1，求出a²=2b²，代入e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，进行运算即可得到．

解答 解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则另一渐近线ON的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
设M（m，$\frac{bm}{a}$），N（n，-$\frac{bn}{a}$），
∵3$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，
∴3（c-m，-$\frac{bm}{a}$）=（n-c，-$\frac{bn}{a}$），
∴3（c-m）=n-c，-$\frac{3bm}{a}$=-$\frac{bn}{a}$，
∴m=$\frac{2}{3}$c，n=2c，
∴M（$\frac{2c}{3}$，$\frac{2bc}{3a}$）．
由FM⊥OM可得，斜率之积等于-1，即$\frac{\frac{2bc}{3a}-0}{\frac{2c}{3}-c}$•$\frac{b}{a}$=-1，
∴a²=2b²，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线，求得点M的坐标是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．