Question

9．求下列函数的定义域和值域．
（1）y=2arccos（x-1）；
（2）y=2arccos（$\frac{1}{2}$-x）；
（3）y=arccos$\frac{1}{\sqrt{x}}$；
（4）y=$\sqrt{\frac{π}{3}-arccos（4-x）}$；
（5）y=arccos（x²-x+1）

Answer 1

分析 由条件利用反三角函数的定义和性质，求得所给函数的定义域和值域．

解答 解：（1）∵y=2arccos（x-1），令-1≤x-1≤1，求得0≤x≤2，故函数的定义域为[0，2]；
再根据 arccos（x-1）∈[0，π]，可得y=2arccos（x-1）∈[0，2π]．
（2）∵y=2arccos（$\frac{1}{2}$-x），令-1≤$\frac{1}{2}$-x≤1，求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，故函数的定义域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]；
再根据 arccos（$\frac{1}{2}$-x）∈[0，π]，可得y=2arccos（$\frac{1}{2}$-）∈[0，2π]．
（3）∵y=arccos$\frac{1}{\sqrt{x}}$；令-1≤$\frac{1}{\sqrt{x}}$≤1，求得x≥1，故函数的定义域为[1，+∞）；
再根据 arccos$\frac{1}{\sqrt{x}}$∈（0，$\frac{π}{2}$），可得y=2arccos$\frac{1}{\sqrt{x}}$∈（0，π）．
（4）∵y=$\sqrt{\frac{π}{3}-arccos（4-x）}$，0≤arccos（4-x）≤$\frac{π}{3}$，令 $\frac{1}{2}$≤4-x≤1，求得3≤x≤$\frac{7}{2}$，故函数的定义域为[3，$\frac{7}{2}$]；
再根据 arccos（4-x）∈[0，$\frac{1}{3}$π]，可得y=2arccos（x-1）∈[0，$\frac{2π}{3}$]．
（5）y=arccos（x²-x+1），令-1≤x²-x+1≤1，求得0≤x≤1，故函数的定义域为[0，1]；
再根据 arccos（x²-x-1）∈[0，π]，可得y=2arccos（x-1）∈[0，2π]．

点评 本题主要考查反三角函数的定义和性质，属于基础题．