Question

4．已知双曲线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，过点P（1，1）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数共有（　　）

• A． 4条
• B． 3条
• C． 2条
• D． 1条

Answer 1

分析 求出双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线方程y=±2x，结合双曲线的性质讨论，直线l与双曲线相切，有两条，一条为斜率不存在的和另一条斜率存在，由判别式为0，解得斜率；直线l与渐近线平行的有两条，共有4条．

解答 解：双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的渐近线方程为y=±2x，
①直线l：x=1与双曲线只有一个公共点；
②过点P （1，1）平行于渐近线y=±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点；
③设过P的切线方程为y-1=k（x-1）与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1联立，
可得（4-k²）x²-2k（1-k）x-（1-k）²-4=0，
由△=0，即4k²（1-k）²+4（4-k²）[（1-k）²-4]=0，解得k=$\frac{5}{2}$，直线l的条数为1．
综上可得，直线l的条数为4．
故选：A．

点评 本题以双曲线为载体，主要考查了直线与双曲线的位置关系，突出考查了双曲线的几何性质，属于中档题和易错题．