Question

9．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，且△PF₁F₂的面积为2$\sqrt{3}$，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

Answer 1

分析 根据点P是双曲线的左支上的一点，及双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，由，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，且△PF₁F₂的面积为2$\sqrt{3}$，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根据余弦定理可以求得a，c的一个方程，双曲线的离心率为2，根据双曲线的离心率的定义式，可以求得a，c的一个方程，解方程组即可求得该双曲线的方程．

解答 解：设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x₀，y₀）．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得，
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos$\frac{π}{3}$
=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|，
又S_△${\;}_{P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|•sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
即有|PF₁|•|PF₂|=8，
可得4c²=4a²+8，即b²=2，
又e=$\frac{c}{a}$=2，且c²=a²+b²，
解得a²=$\frac{2}{3}$．
则双曲线的方程为$\frac{3{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，及利用余弦定理解圆锥曲线的焦点三角形，解题过程注意整体代换的方法，简化计算，属于中档题．