Question

19．已知椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e，直线l：y=x+1经过椭圆C的一个焦点，点（1，1）关于直线l的对称点也在椭圆C上，则$\frac{2e}{{m}^{2}+1}$+m²的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-1
• D． 均不正确

Answer 1

分析 求出点（1，1）关于直线l的对称点坐标，利用点（1，1）关于直线l的对称点也在椭圆C上，求出a，再求出c，可得离心率，代入，利用基本不等式，即可求出$\frac{2e}{{m}^{2}+1}$+m²的最小值．

解答 解：由题意，椭圆C的一个焦点坐标为（0，1）
设点（1，1）关于直线l的对称点坐标为（s，t），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{t-1}{s-1}•1=-1}\\{\frac{1+t}{2}=\frac{1+s}{2}+1}\end{array}\right.$，
∴s=0，t=2，
∵点（1，1）关于直线l的对称点也在椭圆C上，
∴a=2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2e}{{m}^{2}+1}$+m²=$\frac{1}{{m}^{2}+1}$+m²+1-1≥2-1=1（m=0时取等号），
∴$\frac{2e}{{m}^{2}+1}$+m²的最小值为1，
故选：A．

点评 本题考查点关于直线对称点的求法，考查椭圆的性质，考查基本不等式的运用，正确求出椭圆的离心率是关键．