Question

9．函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定K（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“近似曲率”．设曲线y=$\frac{1}{x}$上两点A（a，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，a）（a＞0且a≠1），若m•K（A，B）＞1恒成立，则实数m的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，求得A，B处切线的斜率，由新定义求出两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“近似曲率”，代入m•K（A，B）＞1化简，根据恒成立以及基本不等式，求出实数m的取值范围．

解答 解：由y=$\frac{1}{x}$得y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得k_A=-$\frac{1}{{a}^{2}}$，k_B=-a²，
|AB|=$\sqrt{（a-\frac{1}{a}）^{2}+（\frac{1}{a}-a）^{2}}$=$\sqrt{2}$|a-$\frac{1}{a}$|，
可得K（A，B）=$\frac{{|{k_A}-{k_B}|}}{|AB|}$=$\frac{|{a}^{2}-\frac{1}{{a}^{2}}|}{\sqrt{2}|a-\frac{1}{a}|}$=$\frac{|a+\frac{1}{a}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{a+\frac{1}{a}}{\sqrt{2}}$，
由m•K（A，B）＞1恒成立，
可得m＞$\frac{\sqrt{2}}{a+\frac{1}{a}}$，由a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，
又a＞0且a≠1，则等号不成立，
即有$\frac{\sqrt{2}}{a+\frac{1}{a}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故m≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则实数m的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查新定义的函数的性质与应用问题，导数的几何意义，两点间的距离公式，以及恒成立问题，解题时应根据函数的新定义的内容进行分析、判断，属于中档题．