Question

19．如图，已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=120°，AC与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3$\sqrt{2}$．

（1）若M是BC的中点，求证：在三棱锥D-ABC中，直线OM与平面ABD平行；
（2）求二面角A-BD-O的余弦值；
（3）在三棱锥D-ABC中，设点N是BD上的一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）推导出OM是△ABC的中位线，OM∥AB，由此能证明OM∥平面ABD．
（2）由题意知OB=OD=3，OB⊥OD，OB⊥OD，OB⊥AC，OD⊥AC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD-O的余弦值．
（3）设N（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow{BN}=λ\overrightarrow{BD}$，从而N（0，3λ，3-3λ），$\overrightarrow{CN}$=（3$\sqrt{3}$，3λ，3-3λ），由CN=4$\sqrt{2}$，能求出N点坐标．

解答 证明：（1）∵点O是菱形ABCD的对角线的交点，
∴O是AC的中点，
又点M是棱BC的中点，
∴OM是△ABC的中位线，OM∥AB，
∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
解：（2）由题意知OB=OD=3，
∵BD=3$\sqrt{2}$，∴∠BOD=90°，OB⊥OD，
又∵BD=3$\sqrt{2}$，∴∠BOD=90°，OB⊥OD，
又∵菱形ABCD，∴OB⊥AC，OD⊥AC，
建立空间直角坐标系，则A（3$\sqrt{3}$，0，0），D（0，3，0），B（0，0，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3$\sqrt{3}$，0，3），$\overrightarrow{AD}$=（-3$\sqrt{3}$，3，0），
设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=-3\sqrt{3}x+3z=0}\\{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}=-3\sqrt{3}x+3y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∵AC⊥OB，AC⊥OD，OB∩OD=O，
∴AC⊥平面BOD，∴平面BOD的一个法向量$\overrightarrow{OA}$=（3$\sqrt{3}$，0，0），
cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角A-BD-O的平面角是锐角，
∴二面角A-BD-O的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
（3）设N（x₁，y₁，z₁），∵N是线段BD上的一个动点，设$\overrightarrow{BN}=λ\overrightarrow{BD}$，
即（x₁，y₁，z₁-3）=λ（0，3，-3），
∴x₁=0，y₁=3λ，z₁=3-3λ，
∴N（0，3λ，3-3λ），$\overrightarrow{CN}$=（3$\sqrt{3}$，3λ，3-3λ），
∵CN=4$\sqrt{2}$，∴$\sqrt{27+9{λ}^{2}+（3-3λ）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，整理，得：9λ²-9λ+2=0，
解得$λ=\frac{1}{3}$或$λ=\frac{2}{3}$，
∴N（0，1，2）或N（0，2，1）．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．