Question

11．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为$\frac{5}{3}$，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于$\frac{500}{81}$．

Answer 1

分析 设球的半径为5，圆锥底面半径为3，则圆锥的高为9，代入体积公式计算即可得出比值．

解答 解：设球的半径为5，则圆锥的底面半径为3，∴球心到圆锥底面的距离为$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵内接圆锥的轴截面为锐角三角形，∴圆锥的高为4+5=9．
∴V_球=$\frac{4}{3}π×{5}^{3}=\frac{500π}{3}$，V_圆锥=$\frac{1}{3}π×{3}^{2}×9$=27π．
∴V_球：V_圆锥=$\frac{500π}{3}：$27π=$\frac{500}{81}$．
故答案为：$\frac{500}{81}$．

点评 本题考查了圆锥与外接球的关系，旋转体的体积计算，属于中档题．