Question

16．已知函数f（x）=$|\begin{array}{l}{m}&{cos2x}\\{n}&{sin2x}\end{array}|$的图象过点$（\frac{π}{12}，\sqrt{3}）$和点$（\frac{2π}{3}，-2）$．
（1）求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数y=g（x）的图象；已知点P（0，5），若函数y=g（x）的图象上存在点Q，使得|PQ|=3，求函数y=g（x）图象的对称中心．

Answer 1

分析 （1）利用条件求得m、n的值，可得函数的解析式，从而求得它的最值．
（2）根据g（x）的解析式，点Q（0，2）在y=g（x）的图象上，求得φ的值，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：（1）易知f（x）=msin2x-ncos2x，则由它的图象过点$（\frac{π}{12}，\sqrt{3}）$和点$（\frac{2π}{3}，-2）$，
可得$\left\{\begin{array}{l}msin\frac{π}{6}-ncos\frac{π}{6}=\sqrt{3}\\ msin\frac{4π}{3}-ncos\frac{4π}{3}=-2\end{array}\right.$，解得$m=\sqrt{3}\;，\;\;n=-1$．故$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
故函数f（x）的最大值为2，最小值为-2．
（2）由（1）可知：$g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ+\frac{π}{6}）$．
于是，当且仅当Q（0，2）在y=g（x）的图象上时满足条件，∴$g（0）=2sin（2ϕ+\frac{π}{6}）=2$．由0＜ϕ＜π，得$φ=\frac{π}{6}$．
故$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{2}）=2cos2x$．由$2x=kπ+\frac{π}{2}$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}\;\;（k∈Z）$．
于是，函数y=g（x）图象的对称中心为：$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，0）（k∈Z）$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值以及它的图象的对称性，属于基础题．