Question

5．设单调数列{a_n}的前n项和为S_n，6S_n=a_n²+9n-4，a₁，a₂，a₆成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{6n-1}{{{{（{3n+1}）}^2}•a_n^2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由6S_n=a_n²+9n-4，n≥2时，6S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+9（n-1）-4，相减可得：a_n-3=±a_n-1，由于数列{a_n}是单调数列，可得a_n-a_n-1=3，因此数列{a_n}为等差数列，由a₁，a₂，a₆成等比数列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₆，解出即可得出．
（II）由a_n=3n-2．可得b_n=$\frac{6n-1}{（3n+1）^{2}（3n-2）^{2}}$=$\frac{1}{3}[\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵6S_n=a_n²+9n-4，∴n≥2时，6S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+9（n-1）-4，相减可得：6a_n=${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$+9，整理为$（{a}_{n}-3）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}$，可得a_n-3=±a_n-1，
∵数列{a_n}是单调数列，∴a_n-a_n-1=3，
∴数列{a_n}为等差数列，公差为3．
∵a₁，a₂，a₆成等比数列，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₆，化为：$（{a}_{1}+3）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3×5）$，化为a₁=1．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）∵a_n=3n-2．
∴b_n=$\frac{6n-1}{（3n+1）^{2}（3n-2）^{2}}$=$\frac{1}{3}[\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{4}^{2}}-\frac{1}{{7}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{（3n+1）^{2}}）$=$\frac{3{n}^{2}+2n}{（3n+1）^{2}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．