Question

10．下列各式有无最大值，若有，试求之．
（1）y=3x（5-3x）（0＜x＜$\frac{5}{3}$）；
（2）y=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+9}$（x≠0）

Answer 1

分析 （1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）y=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+9}$=$\frac{1}{{x}^{2}+\frac{9}{{x}^{2}}}$，再利用基本不等式求解．

解答 解：（1）∵0＜x＜$\frac{5}{3}$，
∴3x＞0，5-3x＞0．
由基本不等式可得y=3x（5-3x）≤$[\frac{3x+（5-3x）}{2}]^{2}$=$\frac{25}{4}$，
当且仅当3x=5-3x，即x=$\frac{5}{6}$时，函数有最大值$\frac{25}{4}$；
（2）∵x≠0，∴y=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+9}$=$\frac{1}{{x}^{2}+\frac{9}{{x}^{2}}}$≤$\frac{1}{6}$，
当且仅当x²=$\frac{9}{{x}^{2}}$，即x=$±\sqrt{3}$时，函数有最大值$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，要注意基本不等式的使用条件．