Question

15．已知过点（0，-$\sqrt{2}$）的直线l与双曲线x²-y²=1有两个交点，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 可设直线l的方程为y=kx-$\sqrt{2}$，代入双曲线x²-y²=1，消去y，可得x的二次方程，由二次项系数不为0和判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：当直线l的斜率不存在，显然不成立；
设直线l的方程为y=kx-$\sqrt{2}$，代入双曲线x²-y²=1，
可得（1-k²）x²+2$\sqrt{2}$kx-3=0，
即有1-k²≠0，△=8k²+12（1-k²）＞0，
即为k≠±1，且-$\sqrt{3}$＜k＜$\sqrt{3}$，
则直线l的斜率的范围是（-$\sqrt{3}$，-1）∪（-1，1）∪（1，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系的判断，注意联立直线方程和双曲线方程，运用判别式大于0，考查运算能力，属于基础题和易错题．