Question

7．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和y=ax²+$\frac{15}{4}$x-9都相切，则a的值为（　　）

• A． -1或-$\frac{25}{64}$
• B． -$\frac{23}{38}$
• C． -2
• D． -3或-$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax²+$\frac{15}{4}$x-9都相切，联立方程组，△=0可求出所求．

解答 解：y=x³的导数为y′=3x²；y=ax²+$\frac{15}{4}$x-9的导数为y′=2ax+$\frac{15}{4}$，
设直线与曲线y=x³的切点坐标为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={{x}_{0}}^{3}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}=3{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，解得x₀=0或$\frac{3}{2}$，
则切线的斜率k=3x₀²=0或k=$\frac{27}{4}$，
若k=0，此时切线的方程为y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{y=a{x}^{2}+\frac{15}{4}x-9}\end{array}\right.$，
消去y，可得ax²+$\frac{15}{4}$x-9=0，
其中△=0，即（$\frac{15}{4}$）²+36a=0，
解可得a=-$\frac{25}{64}$；
若k=$\frac{27}{4}$，其切线方程为y=$\frac{27}{4}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{27}{4}（x-1）}\\{y=a{x}^{2}+\frac{15}{4}x-9}\end{array}\right.$，
消去y可得ax²-3x-$\frac{9}{4}$=0，
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1．
故a=-$\frac{25}{64}$或-1．
故选：A．

点评 本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．