Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{cosB}{cosC}$=$\frac{5b}{13a-5c}$，且b²=ac．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若accosB=5，求a+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围求出cosB的值，由平方关系和三角函数值的符号求出sinB的值；
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，把已知的条件代入化简求值，利用完全平方公式求出a+c的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由题意得$\frac{cosB}{cosC}=\frac{5b}{13a-5c}$，
则由正弦定理得$\frac{cosB}{cosC}=\frac{5sinB}{13sinA-5sinC}$，
13cosBsinA-5cosBsinC=5cosCsinB，
13cosBsinA=5sin（B+C）=5sinA，
又0＜A＜π，则cosB=$\frac{5}{13}$，
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$；
（Ⅱ）由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
因为accosB=5，b²=ac，
所以ac=13，a²+c²=23，
所以a+c=$\sqrt{（a+c）^{2}}$=$\sqrt{23+26}$=7．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，两角和的正弦公式，以及整体思想求值，注意三角函数值的符号．