Question

4．已知数列{a_n}，a_n=3a_n-1-2，n∈N^*，n≥2，给定一个实数a₀，取a₁=3a₀-2，若数列{a_n}的第n项开始满足a_n＞2014，则a₀的取值范围是$（1+\frac{2013}{{3}^{n}}，+∞）$．

Answer 1

分析 a_n=3a_n-1-2，n∈N^*，n≥2，变形为：a_n-1=3（a_n-1-1），a₁≠1时，数列{a_n}是等比数列，可得：a_n=1+3ⁿ（a₀-1），若数列{a_n}的第n项开始满足a_n＞2014，于是1+3ⁿ（a₀-1）＞2014，解出即可得出．

解答 解：a_n=3a_n-1-2，n∈N^*，n≥2，
变形为：a_n-1=3（a_n-1-1），
∴a₁=1时，a_n=1，舍去．
a₁≠1时，数列{a_n}是等比数列，首项为a₁-1，公比为3．
∴a_n-1=（a₁-1）×3^n-1，取a₁=3a₀-2，
∴a_n=1+3ⁿ（a₀-1），
若数列{a_n}的第n项开始满足a_n＞2014，
则1+3ⁿ（a₀-1）＞2014，
∴a₀＞1+$\frac{2013}{{3}^{n}}$
∴a₀的取值范围是$（1+\frac{2013}{{3}^{n}}，+∞）$．
故答案为：$（1+\frac{2013}{{3}^{n}}，+∞）$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题