Question

13．函数f（x）=4x-cosx，{a_n}是公差为$\frac{π}{2016}$的等差数列，f（a₁）+f（a₁₀₀₉）+f（a₂₀₁₇）+f（a₃₀₂₅）+f（a₄₀₃₃）=10π，则f（a₂₀₁₇）+a₁+a₄₀₃₃=3π．

Answer 1

分析 由已知得a₁=-$\frac{π}{2}$，利用f（a₂₀₁₇）+a₁+a₄₀₃₃=4a₂₀₁₇-cosa₂₀₁₇+2a₂₀₁₇=6a₂₀₁₇-cosa₂₀₁₇=6a₂₀₁₇+cosa₁，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=4x-cosx，{a_n}是公差为$\frac{π}{2016}$的等差数列，f（a₁）+f（a₁₀₀₉）+f（a₂₀₁₇）+f（a₃₀₂₅）+f（a₄₀₃₃）=10π，
∴f（a₁）+f（a₁₀₀₉）+f（a₂₀₁₇）+f（a₃₀₂₅）+f（a₄₀₃₃）=4（a₁+a₁₀₀₉+a₂₀₁₇+a₃₀₂₅+a₄₀₃₃）-（cosa₁+cosa₁₀₀₉+cosa₂₀₁₇+cosa₃₀₂₅+cosa₄₀₃₃）
=20a₂₀₁₇-（cosa₁-sina₁-cosa₁+sina₁+cosa₁）
=20a₂₀₁₇-cosa₁=10π，
∴20a₂₀₁₇=cosa₁+10π，
∴20a₁+20π=cosa₁+10π，
∴20a₁=cosa₁-10π，
∴a₁=-$\frac{π}{2}$，
∴f（a₂₀₁₇）+a₁+a₄₀₃₃=4a₂₀₁₇-cosa₂₀₁₇+2a₂₀₁₇=6a₂₀₁₇-cosa₂₀₁₇=6a₂₀₁₇+cosa₁=6（a₁+π）=3π．
故答案为：3π．

点评 本题考查数列与三角函数的综合，继而求得a₁是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．