Question

20．△ABC中，AC=BC=1，AC⊥BC，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． |$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1
• B． （$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$
• C． （$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{5}{2}$
• D． （$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=-2

Answer 1

分析 由题意可得AB=$\sqrt{2}$，即有|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\sqrt{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1-2=-1，|$\overrightarrow{b}$|=1，再由向量的平方即为模的平方，计算可得A，B，C不正确，D正确．

解答 解：由AC=BC=1，AC⊥BC，可得AB=$\sqrt{2}$，
即有|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，
且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\sqrt{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
即$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1-2=-1，
由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=1，可得$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=1，
可得$\overrightarrow{b}$²=1-2+2=1，即|$\overrightarrow{b}$|=1，
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{2-2×（-1）+1}$=$\sqrt{5}$，
则A不正确；
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{b}$²=-1-1=-2，则B不正确；
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=2-1=1，则C不正确；
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{b}$²=-1-1=-2，则D正确．
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．