Question

8．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，动点E，F在棱A₁B₁上，动点P，Q分别在棱AB，CD上，若EF=2，现有以下五种说法：
①四面体PEFQ的体积与P，Q点的位置无关
②△EFQ的面积为定值
③四面体PEFQ的体积与点P的位置有关，与点Q的位置无关
④四面体PEFQ的体积为正方体体积的$\frac{1}{12}$
⑤点P到平面EFQ的距离随着P的变化而变化
其中正确的序号是①②④．

Answer 1

分析 由长方体的结构特征可知△EFP的面积为定值，Q到平面ABB₁A₁的距离为定值4，计算出四面体的体积和正方体的体积进行判断．

解答 解：∵CD∥平面EFP，∴Q到平面EFP的距离等于D到平面EFP的距离AD=4．
而S_△EFP=$\frac{1}{2}EF×A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×2×4$=4．
∴V_Q-EFP=$\frac{1}{3}{S}_{△EFP}•AD$=$\frac{1}{3}×4×4$=$\frac{16}{3}$．
∵正方体体积V_正方体=4³=64，∴V_Q-EFP=$\frac{1}{12}$V_正方体．
故①正确，③错误，④正确．
∵CD∥A₁B₁，∴Q到直线A₁B₁的距离h为定值，而EF为定值，故△EFQ的面积为定值，故②正确．
又∵四面体PEFQ的体积为定值，∴点P到平面EFQ的距离为定值，故⑤错误．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．