Question

3．设关于x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1≥0}\\{x-m≤0}\\{y+m≥0}{\;}\end{array}\right.$表示的平面区域内存在点P（x₀，y₀）满足$\frac{|3{x}_{0}-4{y}_{0}-12|}{5}$=1，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． $[\frac{17}{7}，+∞）$
• C． $[1，\frac{17}{7}]$
• D． $（-∞，\frac{17}{7}]$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，由|3x-4y-12|=5得d=$\frac{|3x-4y-12|}{5}$=1，即d的几何意义是区域内的点到直线3x-4y-12=0的距离等于1，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面如图：交点B坐标为（m，-m），（m＞0）
直线2x-y+1=0得y=2x+1，
由|3x-4y-12|=5得$\frac{|3x-4y-12|}{5}$=1，
设d=$\frac{|3x-4y-12|}{5}$，
则d的几何意义是区域内的点到直线3x-4y-12=0的距离等于1，
设到直线3x-4y-12=0的距离等于1的直线为3x-4y+c=0，
则$\frac{|c+12|}{5}$=1，得c=-7或c=-17．
要使平面区域内存在点P（x₀，y₀）满足|3x-4y-12|=5，
则点B（m，-m）必在直线3x-4y-7=0的下方，
即3m+4m-7≥0，解得m≥1．
故m的取值范围是：[1，+∞）．
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．