Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F₁，F₂，在线段AB上有且只有一个点P满足PF₁⊥PF₂，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，由PF₁⊥PF₂，得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．

解答 解：依题意，作图如下
∵A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴直线AB的方程为：$\frac{x}{-a}$+$\frac{y}{b}$=1，整理得：bx-ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x，y）
则bx=ay-ab，
∴x=$\frac{a}{b}$y-a，
∵PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x²+y²-c²
=（$\frac{a}{b}y-a$）²+y²-c²，
令f（y）=（$\frac{a}{b}y-a$）²+y²-c²，
则f′（y）=2（$\frac{a}{b}$y-a）×${\;}^{\frac{a}{b}}$+2y，
∴由f′（y）=0得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，于是x=-$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\frac{-a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²+（$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²-c²=0，
整理得：$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=c²，又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²，
∴椭圆的离心率为e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．