Question

4．已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若点（-$\sqrt{3}$，1）在椭圆上，且（2，0）是它的一个焦点，求椭圆方程；
（2）若B为椭圆的下顶点，F是椭圆的右焦点，直线BF与椭圆的另一个交点为D，P为椭圆右准线上一点，是否存在这样的椭圆使得△PBD为等边三角形？若存在，求出椭圆的离心率；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点（-$\sqrt{3}$，1）在椭圆上，且（2，0）是它的一个焦点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆方程；
（2）求出|BD|，到直线BD的距离，利用△PBD为等边三角形，建立方程，即可得出结论．

解答 解：（1）∵点（-$\sqrt{3}$，1）在椭圆上，且（2，0）是它的一个焦点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由题意，B（0，-b），F（c，0），则直线BF的方程为bx-cy-bc=0，
与$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1联立，可得（a²+c²）x²-2a²cx=0，∴x_D=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，∴y_D=$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$
∴|BD|=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$•$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
BD的中点坐标为（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，-$\frac{b{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），BD的垂直平分线的方程为y+$\frac{b{c}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}}$=-$\frac{c}{b}$（x-$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
令x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，可得y=-$\frac{{a}^{4}+{b}^{2}{c}^{2}}{b（{a}^{2}+{c}^{2}）}$，
∴P到直线BD的距离为$\frac{{a}^{5}}{bc（{a}^{2}+{c}^{2}）}$，
∵△PBD为等边三角形，
∴$\frac{{a}^{5}}{bc（{a}^{2}+{c}^{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$•$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
∴a²=$\sqrt{3}$bc，
∴a⁴=3（a²-c²）c²，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．