Question

9．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}+1}$-$\frac{{x}^{2}}{2m+6}$=1的离心率为$\sqrt{5}$，则实数m的值为1或-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据双曲线的方程求出a，b的值，结合双曲线的离心率建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵m²+1≥1，
∴由双曲线$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}+1}$-$\frac{{x}^{2}}{2m+6}$=1的方程得a²=m²+1，b²=2m+6＞0，得m＞-3，
则c²=m²+1+2m+6=m²+2m+7，
∵双曲线的离心率e=$\sqrt{5}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+2m+7}{{m}^{2}+1}$=5，
即m²+2m+7=5m²+5，
即4m²-2m-2=0，得2m²-m-1=0，
得m=1或m=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：1或-$\frac{1}{2}$，

点评 本题主要考查双曲线离心率的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．