Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k₁，k₂，问：k₁+k₂是否为定值？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），列出方程组，能求出椭圆C的方程．
（2）设过M的直线：y=k（x-1）=kx-k或者x=1，x=1时，代入椭圆，能求出k₁+k₂=2；把y=kx-k代入椭圆，得（3k²+1）x²-6k²x+（3k²-3）=0，由此利用韦达定理能求出k₁+k₂=2．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），
以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{b=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{{y}^{2}}_{\;}$=1．
（2）k₁+k₂是定值．
证明如下：设过M的直线：y=k（x-1）=kx-k或者x=1
①x=1时，代入椭圆，y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴令A（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
k₁=$\frac{2-\frac{\sqrt{6}}{3}}{3-1}$，k₂=$\frac{2+\frac{\sqrt{6}}{3}}{3-1}$，∴k₁+k₂=2．
②y=kx-k代入椭圆，（3k²+1）x²-6k²x+（3k²-3）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
y₁+y₂=$\frac{6{k}^{3}}{3{k}^{3}+1}$-2k=$\frac{-2k}{3{k}^{3}+1}$，
y₁y₂=k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-$\frac{2{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，
k₁=$\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$，k₂=$\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$，
∴k₁+k₂=$\frac{6-3{y}_{1}-2{x}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}+6-3{y}_{2}-2{x}_{1}+{x}_{1}{x}_{2}}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$=2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．