Question

1．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），若a₂₀₁₄=a₂₀₁₆，则a₁₃+a₂₀₁₆=$\frac{21}{13}$+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），a₂₀₁₄=a₂₀₁₆，可得a₂₀₁₆=1+$\frac{1}{{a}_{2014}}$，化简解出a₂₀₁₄=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=a₂₀₁₆．由a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），可得a₃=2，依此类推可得：a₁₃=$\frac{21}{13}$．即可得出．

解答 解：∵各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），a₂₀₁₄=a₂₀₁₆，
∴a₂₀₁₆=1+$\frac{1}{{a}_{2014}}$，即a₂₀₁₄=1+$\frac{1}{{a}_{2014}}$，化为${a}_{2014}^{2}$-a₂₀₁₄-1=0，解得a₂₀₁₄=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=a₂₀₁₆．
∵a₁=1，a_n+2=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），∴a₃=2，a₅=$\frac{3}{2}$，a₇=$\frac{5}{3}$，a₉=$\frac{8}{5}$，a₁₁=$\frac{13}{8}$，a₁₃=$\frac{21}{13}$．
则a₁₃+a₂₀₁₆=$\frac{21}{13}$+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{21}{13}$+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．