Question

16．已知函数f（x）=-$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+4}$（x＞0），在数列{a_n}中，a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f（a_n），n∈N^*，设b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，则T₂₀=2．

Answer 1

分析 由题意可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f（a_n）=$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+4}$，化为$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，利用等差数列的通项公式可得：$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4n-3，a_n＞0，可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\sqrt{4n-3}$．于是b_n=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}}$=$\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}{4}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：由题意可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f（a_n）=$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+4}$，化为$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差数列，首项为1，公差为4．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3，
a_n＞0，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\sqrt{4n-3}$．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}}$=$\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}{4}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{4}[（\sqrt{5}-1）+（\sqrt{9}-\sqrt{5}）$+…+$（\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}）]$=$\frac{1}{4}（\sqrt{4n+1}-1）$．
则T₂₀=$\frac{1}{4}（\sqrt{81}-1）$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．