Question

5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知tanA+tanB-$\sqrt{3}$tanAtanB=-$\sqrt{3}$，c=$\frac{7}{2}$又△ABC的面积为S=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 由已知等式结合两角和的正切求得A+B，进一步求得C，再由正弦定理及余弦定理列关于a，b，c的等式，代入c，求解方程组得到a+b．

解答 解：在△ABC中，由tanA+tanB-$\sqrt{3}$tanAtanB=-$\sqrt{3}$，
得tanA+tanB=-$\sqrt{3}$（1-tanAtanB），
即$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\sqrt{3}$，
∴tan（A+B）=$-\sqrt{3}$，
∵0＜A+B＜π，
∴A+B=$\frac{2π}{3}$，则C=$\frac{π}{3}$．
由S=$\frac{1}{2}ab•sinC=\frac{1}{2}ab•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得ab=6①，
又由c²=a²+b²-2ab•cosC，得${a}^{2}+{b}^{2}-ab=\frac{49}{4}$②，
联立①②得：$（a+b）^{2}=\frac{121}{4}$，即a+b=$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查两角和的正切，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，是中档题．