Question

15．已知双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{3}{4}$x，其图象过点（4，3$\sqrt{2}}$），F₁，F₂是其两个焦点，若双曲线上的点P满足|PF₁|=7，则|PF₂|=13．

Answer 1

分析 根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法求出双曲线的方程，判断点P的位置，利用双曲线的定义进行求解即可．

解答 解：∵双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{3}{4}$x，
∴设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=λ，（λ≠0）
∵其图象过点（4，3$\sqrt{2}}$），
∴λ=$\frac{16}{16}-\frac{18}{9}$=1-2=-1，
则$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=-1，
即$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1，
则a=3，b=4，c=5，
∵|PF₁|=7＜a+c=8，
∴点P在双曲线的上支，
则|PF₂|-|PF₁|=2a=6，
则|PF₂|=|PF₁|+6=6+7=13，
故答案为：13．

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，根据条件利用待定系数法求出双曲线的方程结合双曲线的定义是解决本题的关键．考查学生的运算能力．