Question

5．在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，b=3，cosC=$\frac{11}{14}$．
（Ⅰ）求c和角A的大小；
（Ⅱ）求sin（2C-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，由余弦定理可求c．由正弦定理可求sinA=$\frac{asinC}{c}$的值，结合钝角△ABC，a＞c＞b，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用两角差的正弦函数公式，二倍角公式化简，结合特殊角的三角函数值即可计算求值得解．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在钝角△ABC中，因为a=7，b=3，cosC=$\frac{11}{14}$，
所以sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=49+9-2×$3×7×\frac{11}{14}$=25，
故c=5．
由正弦定理知：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{7×\frac{5\sqrt{3}}{14}}{5}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为△ABC为钝角三角形，a＞c＞b，
所以A为钝角，
故A=120°．
（Ⅱ）sin（2C-$\frac{π}{6}$）=sin2Ccos$\frac{π}{6}$-cos2Csin$\frac{π}{6}$=2×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{11}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（2×$\frac{1{1}^{2}}{1{4}^{2}}$-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{71}{98}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值，正弦定理，余弦定理等在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．