Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为6，过右焦点F₂向其中一条渐近线作垂线F₂H，交渐近线于H点，当△F₁F₂H的周长取最大值时，双曲线的离心率e=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 设出双曲线的一条渐近线方程，求得F₂（c，0）到渐近线的距离为b，运用余弦定理，求得|F₁H|=$\sqrt{9+3{a}^{2}}$，|F₂H|=$\sqrt{9-{a}^{2}}$，再由柯西不等式，可得a=$\sqrt{6}$时，△F₁F₂H的周长取最大值6+4$\sqrt{3}$，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得F₂（c，0）到渐近线的距离为|F₂H|=$\frac{\frac{bc}{a}}{\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}}$=b，
在直角三角形OF₂H中，可得|OH|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
即有cos∠HOF₂=$\frac{a}{c}$=$\frac{a}{3}$，
在三角形OF₁H中，|F₁H|²=c²+|OH|²-2c•|OH|•cos∠HOF₁
=9+a²+2a²=9+3a²，
则|F₁H|=$\sqrt{9+3{a}^{2}}$，|F₂H|=$\sqrt{9-{a}^{2}}$，
即有|F₁H|+|F₂H|=|=$\sqrt{9+3{a}^{2}}$+$\sqrt{9-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3+{a}^{2}}$+$\sqrt{9-{a}^{2}}$
≤$\sqrt{（3+1）（3+{a}^{2}+9-{a}^{2}）}$=4$\sqrt{3}$，
当$\sqrt{3}$•$\sqrt{9-{a}^{2}}$=$\sqrt{3+{a}^{2}}$，即a=$\sqrt{6}$时，取得等号．
则a=$\sqrt{6}$时，△F₁F₂H的周长取最大值6+4$\sqrt{3}$，
此时双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的余弦定理和柯西不等式求最大值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．