Question

8．函数f（x）=$\sqrt{|x|+|{x+1}|-3}$．
（1）求函数f（x）的定义域A；
（2）设B={x|-1＜x＜2}，当实数a，b∈（B∩（∁_RA））时，证明：$\frac{{|{a+b}|}}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}}$|．

Answer 1

分析 （1）根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义分类讨论确定出定义域A即可；
（2）由A与B，求出A补集与B的交集，确定出a，b的范围，所证不等式等价于2|a+b|＜|4+ab|，平方后利用作差法证明即可．

解答 （1）解：由题意得|x|+|x+1|-3≥0，
可得$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-x-1-3≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x≤0}\\{-x+x+1-3≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+x+1-3≥0}\end{array}}\right.$，
解得：x≤-2或x≥1，
则A=（-∞，-2]∪[1，+∞）；
（2）证明：∵A=（-∞，-2]∪[1，+∞），B=（-1，2），
∴B∩（∁_RA）=（-1，1），
又$\frac{{|{a+b}|}}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}}$|?2|a+b|＜|4+ab|，
而4（a+b）²-（4+ab）²=4a²+4b²-a²b²-16=a²（4-b²）+4（b²-4）=（b²-4）（4-a²），
∵a，b∈（-1，1），
∴（b²-4）（4-a²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴$\frac{{|{a+b}|}}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}}$|．

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算，以及函数的定义域及其求法，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．