Question

20．下列函数：①y=-$\frac{1}{x+1}$；②y=（x-1）³；y=log₂x-1；④y=-（$\frac{1}{2}$）^|x|中，在（0，+∞）上是增函数且不存在零点的函数的序号是（　　）

• A． ①④
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据反比例函数的单调性，指数函数的单调性，单调性定义，以及函数零点的定义便可判断每个函数是否满足条件，从而找出正确选项．

解答 解：①反比例函数$y=-\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上是增函数；
∵x＞0时，$-\frac{1}{x+1}＜0$；
∴该函数不存在零点；
②y=（x-1）³，x=1时，y=0；即该函数在（0，+∞）上存在零点；
③y=log₂x-1，x=2时，y=0；
即该函数在（0，+∞）上存在零点；
④x∈（0，+∞）时，$y=-（\frac{1}{2}）^{|x|}=-（\frac{1}{2}）^{x}$；
$y=（\frac{1}{2}）^{x}$为减函数，∴$y=-（\frac{1}{2}）^{|x|}$在（0，+∞）上为增函数；
∵x＞0；
∴$0＜（\frac{1}{2}）^{x}＜1$；
$-1＜-（\frac{1}{2}）^{x}＜0$；
∴函数$y=-（\frac{1}{2}）^{|x|}$在（0，+∞）上无零点；
∴在（0，+∞）上是增函数且不存在零点的函数的序号是①④．
故选A．

点评 考查反比例函数、指数函数的单调性，函数单调性定义，以及函数零点的定义及求法，不等式的性质．