Question

11．己知O为坐标原点，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l₁，l₂，右焦点为F，以OF为直径作圆交l₁于异于原点O的点A，若点B在l₂上，且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{FA}$，则双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：双曲线的渐近线方程l₁，y=$\frac{b}{a}$x，l₂，y=-$\frac{b}{a}$x，
F（c，0），
圆的方程为（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，将y=$\frac{b}{a}$x代入（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
得（x-$\frac{c}{2}$）²+（$\frac{b}{a}$x）²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$x²=cx，则x=0或x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，当x=$\frac{{a}^{2}}{c}$时，y═$\frac{b}{a}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{ab}{c}$，即A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
设B（m，n），则n=-$\frac{b}{a}$•m，
则$\overrightarrow{AB}$=（m-$\frac{{a}^{2}}{c}$，n-$\frac{ab}{c}$），$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{ab}{c}$），
∵$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{FA}$，
∴（m-$\frac{{a}^{2}}{c}$，n-$\frac{ab}{c}$）=2（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{ab}{c}$）
则m-$\frac{{a}^{2}}{c}$=2（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c），n-$\frac{ab}{c}$=2•$\frac{ab}{c}$，
即m=$\frac{3{a}^{2}}{c}$-2c，n=$\frac{3ab}{c}$，
即$\frac{3ab}{c}$=-$\frac{b}{a}$•（$\frac{3{a}^{2}}{c}$-2c）=-$\frac{3ab}{c}$+$\frac{2bc}{a}$，
即$\frac{6ab}{c}$=$\frac{2bc}{a}$，
则c²=3a²，
则$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系，求出交点坐标，转化为a，c的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．