Question

1．在数列{a_n}中，已知a₁=1，前n项和S_n满足$S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，则S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 $S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，可得$S_n^2$=（S_n-S_n-1）$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵$S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，
∴$S_n^2$=（S_n-S_n-1）$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，
化为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，公差为2，首项a₁=1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．n=1时也成立．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
故答案为：$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．