Question

13．已知函数f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+（a+1）x+（1-a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=3时，求曲线C：y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，若曲线C：y=f（x）上的点（x，y）都在不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x≤y}\\{y≤x+\frac{3}{2}}\end{array}}$所表示的平面区域内，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=3时的f（x）的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）由题意可得当1≤x≤2时，$x≤f（x）≤x+\frac{3}{2}$恒成立．设g（x）=f（x）-x=$-\frac{1}{2}{x^2}+ax+（1-a）lnx$，x∈[1，2]．求出g（x）的导数，判断单调性，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+4x-2lnx$，x＞0．
导数为f′（x）=-x+4-$\frac{2}{x}$，
则f'（1）=-1+4-2=1，而$f（1）=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$．
所以曲线C在点（1，f（1））处的切线方程为$y-\frac{7}{2}=x-1$，
即2x-2y+5=0．
（Ⅱ）依题意当x∈[1，2]时，曲线C上的点（x，y）都在不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x≤y}\\{y≤x+\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$所表示的平面区域内，等价于当1≤x≤2时，$x≤f（x）≤x+\frac{3}{2}$恒成立．
设g（x）=f（x）-x=$-\frac{1}{2}{x^2}+ax+（1-a）lnx$，x∈[1，2]．
所以$g'（x）=-x+a+\frac{1-a}{x}=\frac{{-{x^2}+ax+（1-a）}}{x}$=$\frac{-（x-1）（x-（a-1））}{x}$．
（1）当a-1≤1，即a≤2时，
当x∈[1，2]时，g'（x）≤0，g（x）为单调减函数，
所以g（2）≤g（x）≤g（1）．
依题意应有$\left\{{\begin{array}{l}{g（1）=a-\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}}\\{g（2）=-2+2a+（1-a）ln2≥0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥1}\end{array}}\right.$，即1≤a≤2；
（2）若1＜a-1＜2，即2＜a＜3时，
当x∈[1，a-1），g'（x）≥0，g（x）为单调增函数，
当x∈（a-1，2]，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数．
由于$g（1）＞\frac{3}{2}$，所以不合题意．
（3）当a-1≥2，即a≥3时，注意到$g（1）=a-\frac{1}{2}≥\frac{5}{2}$，显然不合题意．
综上所述，1≤a≤2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性，属于中档题．