Question

2．（1）已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$．求证：$\frac{{|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}|}}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|}}$≤$\sqrt{2}$．
（2）命题“若a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，则|a₁+a₂|≤$\sqrt{2}$．”
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，则f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+1，
因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而4（a₁+a₂）²-8≤0，所以|a₁+a₂|≤$\sqrt{2}$．
试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用分析法，结合向量数量积的应用进行证明即可．
（2）利用类比推理的定义，进行证明即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
$要证\frac{{|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}|}}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|}}≤\sqrt{2}$即证明|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|≤$\sqrt{2}$|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|，即（|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|）²≤2|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|²，
即|$\overrightarrow a$|²+2|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|+|$\overrightarrow b$|²≤2（|$\overrightarrow a$|²+2|$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$|+|$\overrightarrow b$|²），
即|$\overrightarrow a$|²-2|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|+|$\overrightarrow b$|²≥0，
即（|$\overrightarrow a$|-|$\overrightarrow b$|）²≥0成立，
∵（|$\overrightarrow a$|-|$\overrightarrow b$|）²≥0恒成立，
∴故原不等式成立； …（7分）
（2）若a₁，a₂，…，a_n∈R，$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2=1$，
则$|{a_1}+{a_2}+…+{a_n}|≤\sqrt{n}$．…（10分）
证明：构造函数$f（x）={（x-{a_1}）^2}+{（x-{a_2}）^2}+…+{（x-{a_n}）^2}$，
则$f（x）=n{x^2}-2（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）x+a_1^2+a_2^2+…+a_n^2=n{x^2}-2（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）x+1$，
因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，
所以△≤0，从而$4{（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）^2}-4n≤0$，
所以$|{a_1}+{a_2}+…+{a_n}|≤\sqrt{n}$．…（14分）

点评 本题主要考查推理和证明的应用，利用分析法以及类比推理是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．