Question

10．x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{ax+y-1≤0}\\{3x-2y-2≤0}\end{array}\right.$，若z=x²-10x+y²的最小值为-12．则实数a的取值范围是a≤-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意作平面区域，化简可得（x-5）²+y²的最小值为13，从而结合图象解得．

解答 解：由题意作平面区域如下，
，
∵z=x²-10x+y²=（x-5）²+y²-25的最小值为-12，
∴（x-5）²+y²的最小值为13，
直线ax+y-1=0恒过点A（0，1），
直线y=$\frac{3}{2}$x-1与圆（x-5）²+y²=13相切于点B（2，2）；
∵ax+y-1=0可化为y=-ax+1，
故-a≥k_AB=$\frac{2-1}{2-0}=\frac{1}{2}$，
故a≤-$\frac{1}{2}$；
故答案为：a≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用；关键是正确画图，利用几何意义完成；属于中档题．