Question

19．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q（其中O为坐标原点），若OFP的面积是OQP的面积的6倍，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据条件分别求出P，Q的坐标，结合三角形的面积公式建立方程进行求解即可．

解答 解：双曲线渐近线的方程为y=$\frac{b}{a}$x，则PF的斜率k=-$\frac{a}{b}$，
则PF的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
OP的中点M（$\frac{{a}^{2}}{2c}$，$\frac{ab}{2c}$），
OP的中垂线的方程为y-$\frac{ab}{2c}$=-$\frac{a}{b}$（x-$\frac{{a}^{2}}{2c}$），
令x=0，则y=$\frac{ab}{2c}$+$\frac{a}{b}$•$\frac{{a}^{2}}{2c}$=$\frac{ac}{2b}$，即Q（0，$\frac{ac}{2b}$），
则OQP的面积S=$\frac{1}{2}$•$\frac{ac}{2b}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{{a}^{3}}{4b}$，
则OFP的面积S=$\frac{1}{2}$•c•$\frac{ab}{c}$=$\frac{ab}{2}$，
∵OFP的面积是OQP的面积的6倍，
∴6×$\frac{{a}^{3}}{4b}$=$\frac{ab}{2}$，
即b²=3a²，
则b²=3a²=c²-a²，
即4a²=c²，
则c=2a，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线之间的关系求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．