Question

如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A₁BC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由Rt△ABC中，∠C=90°且DE∥BC，证出A₁D⊥DE．结合A₁D⊥CD，可得A₁D⊥面BCDE，从而得到A₁D⊥BC．最后根据线面垂直判定定理，结合BC⊥CD可证出BC⊥面A₁DC；
（II）以D为原点，分别以

DE

，

DA1

，

CD

为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出平面A₁BC的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE与平面A₁BC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE∴A₁D⊥DE．
又A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥面BCDE．
由BC?面BCDE，
∴A₁D⊥BC．BC⊥CD，A₁D∩CD=D，
∴BC⊥面A₁DC；
（2）解：以D为原点，分别以

DE

，

DA1

，

CD

为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz            
在直角梯形CDEB中，过E作EF⊥BC，EF=2，BF=1，BC=3，
∴B（3，0，-2），E（2，0，0），C（0，0，-2），A₁（0，4，0），
∴

BE

=(-1，0，2)，

CA1

=(0，4，2)，

BA1

=(-3，4，2)，
设平面A₁BC的法向量为

m

=(x，y，z)，由

CA • m =0 BA • m =0

，可得

4y+2z=0 -3x+4y+2z=0

，
∴

z=-2y x=0

，令y=1，∴

m

=(0，1，-2)
设BE与平面A₁BC所成角为θ，∴sinθ=

| BE • m |

| BE || m |

=

4

5 • 5

=

4

5

．

点评：本题在四棱锥中证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值．着重考查了线面垂直的判定与性质、利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．